Cel mai mare divizor comun. Care este cel mai mare divizor comun și cum se calculează?

Cel mai mare divizor comun (cmmdc) dintre două numere este cel mai mare număr care le împarte pe amândouă. De exemplu, cel mai mare factor comun de 20 și 15 este 5, deoarece 5 divide atât pe 20 cât și pe 15 și niciun număr mai mare nu are această proprietate.

Conceptul este ușor extins la seturi de mai mult de două numere: cel mai mare divizor comun al unui set de numere este cel mai mare număr care divide fiecare dintre ele. Cum poate fi calculat cmmdc-ul mai multor numere? Acesta poate fi calculat prin simpla listare a factorilor fiecărui număr și determinarea celui mai mare număr comun.

Cel mai mare divizor comun

Dacă avem numerele naturale a, b, c, unde c este cel mai mare divizor comun a lui a și b, atunci c divide a și c divide b. Mai mult decât atât, este bine de știut că orice număr natural ce divide a și b, va divide și pe c.

Cmmdc se află prin descompunerea numerelor în factori primi. Mai departe se înmulțesc factorii comuni luați o singură dată. Rezultatul este cel mai mare divizor comun căutat.

Exemplu de problemă:

Care este cel mai mare divizor comun al numerelor 36 și 24?

cmmdc (36,24) = ?
36 = 2²*3²
24 = 2³*3
cmmdc (36,24) = 2²*3 = 4*3 = 12

Iar 12 divide 36 și 24.

Când numerele sunt mari metoda de mai sus poate fi foarte dificilă. O metodă ceva mai eficientă este de a calcula mai întâi factorizarea primă a fiecărui număr din set. Cmmdc-ul rezultat este produsul primilor care apar în fiecare factorizare, până la cel mai mic exponent văzut în factorizări.

Exemplu de problemă:

Care este cel mai mare divizor comun al numerelor 4200 și 3780?

cmmdc (4200,3780) = ?
4200 = 2³*3*5²*7
3780 = 2²*3³*5*7
cmmdc (4200,3780) = 2²*3*5 = 4*3*5 = 60

Iar 60 divide 4200 și 3780.

Cel mai mare divizor comun este, de asemenea, utilizat în algoritmul euclidian extins pentru a calcula inversele modulare, care sunt de o importanță extremă în schemele de criptare. Este, de asemenea, destul de important atunci când se ia în considerare ordinea unui element, în special în teorema lui Lagrange, în special aplicată aritmeticii modulare. Acest lucru îl face un subiect comun în competiții și olimpiade școlare.